Història de la matemàtica. Grècia IIb (Els Elements d'Euclides, llibres VII, VIII, IX, X, XI, XII i XIII): Resultats, textos i contextos

Adéntrate en la profunda arquitectura lógica de la antigua Grecia, donde se desvelaron meticulosamente los fundamentos mismos del número y el espacio. Este viaje profundiza en la segunda mitad de los monumentales "Elementos" de Euclides, desentrañando el intrincado entramado de pensamiento que moldeó siglos de comprensión matemática. Comenzamos no con líneas y círculos, sino con la esencia misma del número, explorando las propiedades y relaciones de los enteros que constituyen la base de la aritmética.

Nuestra exploración se inicia con el Libro VII, donde se desvela la teoría de los números. Aquí se establecen las definiciones de unidad, números pares, impares y primos, allanando el camino para una comprensión profunda de su comportamiento. Nos encontramos con la elegante danza de divisores y múltiplos, y presenciamos el ingenioso método de la antanaresis - ahora conocido como el algoritmo euclidiano - revelado para determinar el máximo común divisor de dos o más números. Es un mundo donde las razones y proporciones numéricas se examinan rigurosamente, construyendo un marco coherente para comprender las cantidades discretas del cosmos. El viaje a la teoría de números continúa en el Libro VIII, donde la atención se centra en los números en proporción continua, el concepto que hoy reconocemos como sucesiones geométricas. Aquí, se exploran meticulosamente las propiedades de los números cuadrados y cúbicos, demostrando cómo estas magnitudes especiales se integran en el gran esquema de las relaciones proporcionales. La cuidadosa disposición de estas proposiciones revela una profunda comprensión de la progresión numérica y el orden inherente a los conjuntos de números.

El Libro IX nos introduce entonces en algunos de los teoremas más célebres de la antigüedad. En estas páginas se demuestra irrefutablemente la infinitud de los números primos, una revelación que sigue asombrando. El análisis se extiende a las fascinantes características de los números pares e impares, culminando en la elegante identificación de los números perfectos: aquellos enteros raros iguales a la suma de sus divisores propios. La búsqueda de estas verdades numéricas desvela las simetrías ocultas y la profunda complejidad de la aritmética.

El Libro X marca un cambio significativo: una exploración densa y desafiante del reino de las magnitudes inconmensurables, lo que hoy llamamos números irracionales. Este libro aborda cantidades que no pueden expresarse como una razón de dos enteros, como la diagonal de un cuadrado en relación con su lado. Clasifica estos segmentos "irracionales" en diversos tipos, testimonio de la sofisticada comprensión que los griegos tenían de los números más allá de lo racional. Esta intrincada clasificación, que a menudo se basa en la obra de Teeteto, representa un esfuerzo monumental por controlar los aspectos aparentemente indomables de las cantidades continuas.

Tras abandonar el mundo abstracto de los números, los Libros XI, XII y XIII nos sumergen en la majestuosidad del espacio tridimensional, sentando las bases de la geometría sólida. El Libro XI introduce las proposiciones fundamentales de los sólidos, definiendo qué significa que una figura posea longitud, anchura y profundidad. Examina minuciosamente las relaciones entre planos y líneas en el espacio, las intersecciones que forman y las propiedades de figuras tridimensionales básicas como paralelepípedos, pirámides, prismas y esferas. Se empieza a percibir el mundo no solo como superficies planas, sino como volúmenes y formas cuidadosamente construidas y definidas.

En el Libro XII, presenciamos el poder del método de agotamiento de Eudoxo, un brillante precursor del cálculo integral. Esta técnica revolucionaria permite calcular áreas y volúmenes aproximándolos con un número cada vez mayor de figuras más simples. Es aquí donde se encuentran demostraciones rigurosas que demuestran que las áreas de los círculos son proporcionales entre sí al cuadrado de sus diámetros, y que los volúmenes de las esferas son proporcionales entre sí al cubo de sus diámetros. El método de agotamiento, aplicado con una precisión sin igual, revela las relaciones cuantitativas que rigen los conos, las pirámides, los cilindros y las esferas, tratándolos como límites de polígonos y poliedros.

Finalmente, el Libro XIII culmina la serie "Elementos" con una exposición fascinante sobre los cinco sólidos platónicos regulares: el tetraedro (pirámide), el cubo (hexaedro), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Este libro presenta las construcciones de estos poliedros perfectos, demostrando cómo cada uno puede inscribirse dentro de una esfera dada. Compara meticulosamente las proporciones de sus aristas con el radio de la esfera circunscrita y concluye con la profunda demostración de que solo estos cinco sólidos regulares pueden existir. Este gran final sintetiza los principios geométricos y aritméticos explorados a lo largo de "Elementos", ofreciendo una visión atemporal de armonía y orden en el universo matemático.